| 1 | #!/usr/bin/python |
|---|
| 2 | # -*- coding: utf-8 -*- |
|---|
| 3 | # |
|---|
| 4 | # Pyromaths |
|---|
| 5 | # Un programme en Python qui permet de créer des fiches d'exercices types de |
|---|
| 6 | # mathématiques niveau collège ainsi que leur corrigé en LaTeX. |
|---|
| 7 | # Copyright (C) 2006 -- Jérôme Ortais (jerome.ortais@pyromaths.org) |
|---|
| 8 | # |
|---|
| 9 | # This program is free software; you can redistribute it and/or modify |
|---|
| 10 | # it under the terms of the GNU General Public License as published by |
|---|
| 11 | # the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or |
|---|
| 12 | # (at your option) any later version. |
|---|
| 13 | # |
|---|
| 14 | # This program is distributed in the hope that it will be useful, |
|---|
| 15 | # but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of |
|---|
| 16 | # MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the |
|---|
| 17 | # GNU General Public License for more details. |
|---|
| 18 | # |
|---|
| 19 | # You should have received a copy of the GNU General Public License |
|---|
| 20 | # along with this program; if not, write to the Free Software |
|---|
| 21 | # Foundation, Inc., 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA |
|---|
| 22 | # |
|---|
| 23 | |
|---|
| 24 | from pyromaths.outils.Arithmetique import pgcd, factoriseTex, carrerise |
|---|
| 25 | from pyromaths.outils.Affichage import decimaux |
|---|
| 26 | from random import randint, shuffle |
|---|
| 27 | |
|---|
| 28 | premiers = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, |
|---|
| 29 | 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, |
|---|
| 30 | 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, |
|---|
| 31 | 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, |
|---|
| 32 | 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, |
|---|
| 33 | 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, |
|---|
| 34 | 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, |
|---|
| 35 | 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, |
|---|
| 36 | 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, |
|---|
| 37 | 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, |
|---|
| 38 | 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, |
|---|
| 39 | 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997] # # Liste de longueur 168 |
|---|
| 40 | |
|---|
| 41 | def Arithmetique(): |
|---|
| 42 | """Exercice de décomposition de nombres en facteurs premiers, puis de |
|---|
| 43 | recherche du PGCD et du PPCM, et d'applications aux fractions""" |
|---|
| 44 | |
|---|
| 45 | # ## Question 1 |
|---|
| 46 | exo = ["\\exercice", '\\begin{enumerate}', u"\\item Donner la décomposition" + |
|---|
| 47 | u" en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser quand il" + |
|---|
| 48 | u" s\'agit d\'un nombre premier :\\par"] |
|---|
| 49 | cor = ["\\exercice*", '\\begin{enumerate}', u"\\item Donner la décomposition" |
|---|
| 50 | + u" en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser quand il" |
|---|
| 51 | + u" s\'agit d\'un nombre premier :\\par"] |
|---|
| 52 | |
|---|
| 53 | prime = premiers[randint(10, 167)] |
|---|
| 54 | |
|---|
| 55 | fauxpgcd = randint(1, 101) |
|---|
| 56 | fauxpgcdfactor = factoriseTex(fauxpgcd)[0] |
|---|
| 57 | |
|---|
| 58 | complementaires = [randint(6, 50), randint(6, 50)] |
|---|
| 59 | pgcdcompl = pgcd(complementaires[0], complementaires[1]) |
|---|
| 60 | pgcdcomplfact = factoriseTex(pgcdcompl)[0] |
|---|
| 61 | |
|---|
| 62 | if pgcdcompl != 1: |
|---|
| 63 | facteurs = pgcdcomplfact + fauxpgcdfactor |
|---|
| 64 | facteurs.sort() |
|---|
| 65 | else: |
|---|
| 66 | facteurs = fauxpgcdfactor |
|---|
| 67 | |
|---|
| 68 | autresnombres = [randint(51, 999), randint(51, 999)] |
|---|
| 69 | |
|---|
| 70 | listenombres = [prime, complementaires[0] * fauxpgcd, complementaires[1] * |
|---|
| 71 | fauxpgcd, ] + autresnombres |
|---|
| 72 | melange = [prime, complementaires[0] * fauxpgcd, complementaires[1] * |
|---|
| 73 | fauxpgcd, ] + autresnombres |
|---|
| 74 | shuffle(melange) |
|---|
| 75 | |
|---|
| 76 | exo.append(decimaux(melange[0]) + " ; " + decimaux(melange[1]) + " ; " + |
|---|
| 77 | decimaux(melange[2]) + " ; " + decimaux(melange[3]) + " ; " + |
|---|
| 78 | decimaux(melange[4]) + " ;") |
|---|
| 79 | |
|---|
| 80 | cor.append("\\begin{multicols}{2}") |
|---|
| 81 | |
|---|
| 82 | for i in range(5): |
|---|
| 83 | cor += factoriseTex(melange[i])[1] |
|---|
| 84 | |
|---|
| 85 | cor.append("\\end{multicols}") |
|---|
| 86 | |
|---|
| 87 | # ## Question 2 |
|---|
| 88 | exo.append(u'\\item En déduire le PGCD et le PPCM des nombres ' + |
|---|
| 89 | decimaux(listenombres[1]) + " et " + decimaux(listenombres[2]) + |
|---|
| 90 | ".") |
|---|
| 91 | cor.append(u'\\item En déduire le PGCD et le PPCM des nombres ' + |
|---|
| 92 | decimaux(listenombres[1]) + " et " + decimaux(listenombres[2]) + |
|---|
| 93 | ".\\par") |
|---|
| 94 | |
|---|
| 95 | cor.append(u"D'après la question 1), on sait que les nombres " + |
|---|
| 96 | decimaux(listenombres[1]) + " et " + decimaux(listenombres[2]) + |
|---|
| 97 | " ont comme facteurs premiers communs : ") |
|---|
| 98 | |
|---|
| 99 | for j in range(len(facteurs)): |
|---|
| 100 | if j == 0: |
|---|
| 101 | temp = "$" |
|---|
| 102 | if j != len(facteurs) - 1: |
|---|
| 103 | temp += decimaux(facteurs[j]) + " , " |
|---|
| 104 | else: |
|---|
| 105 | temp += decimaux(facteurs[j]) + "$.\\par" |
|---|
| 106 | cor.append(temp) |
|---|
| 107 | |
|---|
| 108 | cor.append(u"On en déduit que le PGCD des nombres " + |
|---|
| 109 | decimaux(listenombres[1]) + " et " + decimaux(listenombres[2]) + |
|---|
| 110 | " est : ") |
|---|
| 111 | temp = "$" |
|---|
| 112 | if len(facteurs) > 1: |
|---|
| 113 | for j in range(len(facteurs)): |
|---|
| 114 | if j != len(facteurs) - 1: |
|---|
| 115 | temp += decimaux(facteurs[j]) + " \\times " |
|---|
| 116 | else: |
|---|
| 117 | temp += decimaux(facteurs[j]) + " = " |
|---|
| 118 | |
|---|
| 119 | temp += decimaux(fauxpgcd * pgcdcompl) + ".$\\par" |
|---|
| 120 | cor.append(temp) |
|---|
| 121 | |
|---|
| 122 | vraippcm = (listenombres[1] * listenombres[2]) / (fauxpgcd * pgcdcompl) |
|---|
| 123 | |
|---|
| 124 | if (listenombres[1] % listenombres[2] == 0): |
|---|
| 125 | cor.append(decimaux(listenombres[1]) + u" est un multiple de " + |
|---|
| 126 | decimaux(listenombres[2]) + u", donc leur PPCM est directement " |
|---|
| 127 | + decimaux(listenombres[1]) + ".") |
|---|
| 128 | elif (listenombres[2] % listenombres[1] == 0): |
|---|
| 129 | cor.append(decimaux(listenombres[2]) + u" est un multiple de " + |
|---|
| 130 | decimaux(listenombres[1]) + u", donc leur PPCM est directement " + |
|---|
| 131 | decimaux(listenombres[2]) + ".") |
|---|
| 132 | else: |
|---|
| 133 | cor.append(u"Il existe plusieurs méthodes pour calculer le PPCM de " + |
|---|
| 134 | decimaux(listenombres[1]) + " et de " + decimaux(listenombres[2]) + |
|---|
| 135 | ".\\par") |
|---|
| 136 | cor.append(u"En voici deux :") |
|---|
| 137 | cor.append("\\begin{enumerate}") |
|---|
| 138 | |
|---|
| 139 | cor.append(u"\\item On peut simplement utiliser la formule :") |
|---|
| 140 | cor.append(u"$a \\times b = PGCD(a;~b) \\times PPCM(a;~b)$.\\par") |
|---|
| 141 | cor.append(u"Donc : $PPCM(" + decimaux(listenombres[1]) + ";~" + |
|---|
| 142 | decimaux(listenombres[2]) + ") = " + "\\dfrac{" + |
|---|
| 143 | decimaux(listenombres[1]) + "\\times" + decimaux(listenombres[2]) + "}{" |
|---|
| 144 | + decimaux(fauxpgcd * pgcdcompl) + "} = " + decimaux(vraippcm) + |
|---|
| 145 | ".$") |
|---|
| 146 | |
|---|
| 147 | cor.append(u"\\item On peut aussi multiplier un nombre par les \"facteurs " |
|---|
| 148 | + u"complémentaires\" de l'autre.\n" + u"Ces \"facteurs " + |
|---|
| 149 | u"complémentaires\" sont les facteurs qui complètent le PGCD pour " + |
|---|
| 150 | u"former le nombre.\\par") |
|---|
| 151 | |
|---|
| 152 | temp = u"Comme $PGCD(" + decimaux(listenombres[1]) + ";~" + \ |
|---|
| 153 | decimaux(listenombres[2]) + ") = " + decimaux(fauxpgcd * pgcdcompl) |
|---|
| 154 | |
|---|
| 155 | if len(facteurs) > 1: |
|---|
| 156 | temp += " = " |
|---|
| 157 | for j in range(len(facteurs)): |
|---|
| 158 | if j != len(facteurs) - 1: |
|---|
| 159 | temp += decimaux(facteurs[j]) + " \\times " |
|---|
| 160 | else: |
|---|
| 161 | temp += decimaux(facteurs[j]) |
|---|
| 162 | |
|---|
| 163 | factornb1 = factoriseTex(listenombres[1])[0] |
|---|
| 164 | |
|---|
| 165 | if len(factornb1) > 1: |
|---|
| 166 | textcompl = u"$, alors les \"facteurs complémentaires\" de $" |
|---|
| 167 | else: |
|---|
| 168 | textcompl = u"$, alors le \"facteur complémentaire\" de $" |
|---|
| 169 | |
|---|
| 170 | temp += textcompl + decimaux(listenombres[1]) + " = " |
|---|
| 171 | |
|---|
| 172 | for j in range(len(factornb1)): |
|---|
| 173 | if j != len(factornb1) - 1: |
|---|
| 174 | temp += decimaux(factornb1[j]) + " \\times " |
|---|
| 175 | else: |
|---|
| 176 | temp += decimaux(factornb1[j]) |
|---|
| 177 | |
|---|
| 178 | factcompl = factoriseTex(listenombres[1] / (fauxpgcd * pgcdcompl))[0] |
|---|
| 179 | |
|---|
| 180 | if len(factcompl) == 1: |
|---|
| 181 | temp += u"$ est : " |
|---|
| 182 | else: |
|---|
| 183 | temp += u"$ sont : " |
|---|
| 184 | for j in range(len(factcompl)): |
|---|
| 185 | if j != len(factcompl) - 1: |
|---|
| 186 | temp += decimaux(factcompl[j]) + " , " |
|---|
| 187 | else: |
|---|
| 188 | temp += decimaux(factcompl[j]) + ".\n" |
|---|
| 189 | temp += u"On en déduit que $PPCM(" + decimaux(listenombres[1]) + ";~" + \ |
|---|
| 190 | decimaux(listenombres[2]) + ") = " + decimaux(listenombres[2]) + \ |
|---|
| 191 | " \\times " |
|---|
| 192 | |
|---|
| 193 | for j in range(len(factcompl)): |
|---|
| 194 | if j != len(factcompl) - 1: |
|---|
| 195 | temp += decimaux(factcompl[j]) + " \\times " |
|---|
| 196 | else: |
|---|
| 197 | temp += decimaux(factcompl[j]) + " = " |
|---|
| 198 | temp += decimaux(vraippcm) + ".$" |
|---|
| 199 | cor.append(temp) |
|---|
| 200 | cor.append("\\end{enumerate}") |
|---|
| 201 | |
|---|
| 202 | # ## Question 3 |
|---|
| 203 | |
|---|
| 204 | exo.append(u"\\item Quel est le plus petit nombre par lequel il faut " + |
|---|
| 205 | u"multiplier " + decimaux(autresnombres[0]) + |
|---|
| 206 | u" pour obtenir un carré parfait ?") |
|---|
| 207 | |
|---|
| 208 | cor.append(u" \\item Pour obtenir un carré parfait, il faut que sa " + |
|---|
| 209 | u"décomposition en facteurs premiers ne contienne que des facteurs " |
|---|
| 210 | + u"apparaissant un nombre pair de fois. D'après la question 1, " + |
|---|
| 211 | u"la décomposition en facteurs premiers de " |
|---|
| 212 | + decimaux(autresnombres[0])) |
|---|
| 213 | |
|---|
| 214 | decompautre = factoriseTex(autresnombres[0])[1] |
|---|
| 215 | |
|---|
| 216 | if len(decompautre) == 1: |
|---|
| 217 | cor.append(u" est lui-même, car c'est un nombre premier.") |
|---|
| 218 | else: |
|---|
| 219 | cor.append(" est : \\par\n$" + decimaux(autresnombres[0]) + " = " + |
|---|
| 220 | decompautre[-2][5:-2] + ".$\\par") |
|---|
| 221 | |
|---|
| 222 | cor.append(u"Il faut donc encore multiplier ce nombre par ") |
|---|
| 223 | |
|---|
| 224 | carre = carrerise(autresnombres[0]) |
|---|
| 225 | factsup = factoriseTex(carre)[0] |
|---|
| 226 | |
|---|
| 227 | if len(factsup) == 1: |
|---|
| 228 | cor.append(" le facteur ") |
|---|
| 229 | else: |
|---|
| 230 | cor.append(" les facteurs ") |
|---|
| 231 | |
|---|
| 232 | for j in range(len(factsup)): |
|---|
| 233 | if (j != len(factsup) - 1) and (j != len(factsup) - 2): |
|---|
| 234 | cor.append(decimaux(factsup[j]) + " , ") |
|---|
| 235 | elif (j == len(factsup) - 2): |
|---|
| 236 | cor.append(decimaux(factsup[j]) + " et ") |
|---|
| 237 | else: |
|---|
| 238 | cor.append(decimaux(factsup[j]) + ".\\par") |
|---|
| 239 | |
|---|
| 240 | cor.append(u"Le nombre cherché est par conséquent " + decimaux(carre) + |
|---|
| 241 | u" et le carré parfait obtenu est " + decimaux(carre * |
|---|
| 242 | autresnombres[0]) + ".") |
|---|
| 243 | |
|---|
| 244 | # ## Question 4 |
|---|
| 245 | exo.append(u"\\item Rendre la fraction $\\dfrac{" + decimaux(listenombres[1]) |
|---|
| 246 | + "}{" + decimaux(listenombres[2]) + u"}$ irréductible.") |
|---|
| 247 | |
|---|
| 248 | cor.append(u"\\item Le moyen le plus rapide de simplifier cette fraction est" |
|---|
| 249 | + u"de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD." + |
|---|
| 250 | u" D'après la question 2), PGCD(" + decimaux(listenombres[1]) + ";~" |
|---|
| 251 | + decimaux(listenombres[2]) + ") = " |
|---|
| 252 | + decimaux(fauxpgcd * pgcdcompl) + ", donc on obtient :\\par") |
|---|
| 253 | cor.append(u"$\dfrac{" + decimaux(listenombres[1]) + "{\\scriptstyle \\div " + |
|---|
| 254 | decimaux(fauxpgcd * pgcdcompl) + "}}{" + decimaux(listenombres[2]) + |
|---|
| 255 | "{\\scriptstyle \\div " + decimaux(fauxpgcd * pgcdcompl) + |
|---|
| 256 | "}} = \dfrac{" + decimaux(listenombres[1] / (fauxpgcd * pgcdcompl)) + |
|---|
| 257 | "}{" + decimaux(listenombres[2] / (fauxpgcd * pgcdcompl)) + "}.$") |
|---|
| 258 | |
|---|
| 259 | # ## Question 5 |
|---|
| 260 | |
|---|
| 261 | num = [randint(6, 50), randint(6, 50)] |
|---|
| 262 | exo.append(u"\\item Calculer $\\dfrac{" + decimaux(num[0]) + "}{" + |
|---|
| 263 | decimaux(listenombres[1]) + "} + \\dfrac{" + decimaux(num[1]) + "}{" + |
|---|
| 264 | decimaux(listenombres[2]) + "}$.") |
|---|
| 265 | |
|---|
| 266 | mult1 = vraippcm / listenombres[1] |
|---|
| 267 | mult2 = vraippcm / listenombres[2] |
|---|
| 268 | |
|---|
| 269 | num1 = mult1 * num[0] |
|---|
| 270 | num2 = mult2 * num[1] |
|---|
| 271 | |
|---|
| 272 | simplfin = pgcd(num1 + num2, vraippcm) |
|---|
| 273 | |
|---|
| 274 | if simplfin != 1: |
|---|
| 275 | simpl = "{\\scriptstyle \\div " + decimaux(simplfin) + "}" |
|---|
| 276 | result = " = \\dfrac{" + decimaux((num1 + num2) / simplfin) + "}{" + \ |
|---|
| 277 | decimaux((vraippcm) / simplfin) + "}" |
|---|
| 278 | else: |
|---|
| 279 | simpl = "" |
|---|
| 280 | result = "" |
|---|
| 281 | |
|---|
| 282 | cor.append(u"\\item Il faut mettre les fractions au même dénominateur. Grâce" |
|---|
| 283 | + u"à la question 2), nous avons déjà un dénominateur commun : " + |
|---|
| 284 | u"le PPCM des nombres " + decimaux(listenombres[1]) + " et " + |
|---|
| 285 | decimaux(listenombres[2]) + u", qui est par définition le plus petit" |
|---|
| 286 | + u"multiple commun de ces deux nombres.\\par") |
|---|
| 287 | cor.append(u"$\\dfrac{" + decimaux(num[0]) + "{\\scriptstyle \\times " + |
|---|
| 288 | decimaux(mult1) + "}}{" + decimaux(listenombres[1]) + |
|---|
| 289 | "{\\scriptstyle \\times " + decimaux(mult1) + "}} + \\dfrac{" + |
|---|
| 290 | decimaux(num[1]) + "{\\scriptstyle \\times " + decimaux(mult2) + "}}{" |
|---|
| 291 | + decimaux(listenombres[2]) + "{\\scriptstyle \\times " + |
|---|
| 292 | decimaux(mult2) + "}} = \\dfrac{" + decimaux(num1) + "}{" + |
|---|
| 293 | decimaux(vraippcm) + "} + \\dfrac{" + decimaux(num2) + "}{" + |
|---|
| 294 | decimaux(vraippcm) + "} = \\dfrac{" + decimaux(num1 + num2) + simpl + |
|---|
| 295 | "}{" + decimaux(vraippcm) + simpl + "}" + result + ".$") |
|---|
| 296 | |
|---|
| 297 | exo.append("\\end{enumerate}") |
|---|
| 298 | cor.append("\\end{enumerate}") |
|---|
| 299 | |
|---|
| 300 | return (exo, cor) |
|---|
| 301 | |
|---|
| 302 | Arithmetique.description = u'Arithmétique' |
|---|
